Ecuaciones del plano

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector

tiene que ser coplanario con

Ecuaciones paramétricas del plano

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal
El vector

es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x₀, y₀, z₀) es un punto del plano, el vector

es perpendicular al vector

, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EN COORDENADAS CARTESIANAS

Para determinar un plano se necesitan un punto P_o(x_o ,y_o ,z_o) y un vector

normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - x_o) + B(y - y_o) + C(z - z_o) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

Donde D = -A.x_o - B.y_o - C.z_o

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 ; z = Cte.

Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Plano que pasa por dos puntos.- Siendo P_o , P₁ y P₂ tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/graficos/epr012.gif

Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/graficos/epr014.gif

Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

P_o = (a,0,0) ; P₁ = (0,b,0) ; P₂ = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

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y desarrollando el determinante:

b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c

o, lo que es igual :

Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:

Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos π₁ y π₂ de ecuaciones:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/graficos/epr024.gif

El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:

Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:

Cuando los planos son perpendiculares, se tiene cos θ = 0 y la ecuación (2) toma la forma:

o lo que es igual:

A₁.A₂ + B₁.B₂ + C₁.C₂ = 0

Ecuación general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuación que la determina toma la forma:

Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es:

Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuación viene dada en la forma:

A partir de la ecuación (3) podemos obtener la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :

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Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/graficos/epr042.gif

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.- El ángulo formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuación:

Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:

Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuación:

a₁.a₂ + b₁.b₂ + c₁.c₂ = 0

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.- Siendo, respectivamente:

Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector director de la recta lleva la misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto:

Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0

Perpendicularidad :

Posiciones relativas de dos planos

Dados los planos:

Y sean:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:

Posición	r	r'
Secantes	2	2
Paralelos	1	2
Coincidentes	1	1

5.2.- FAMILIA DE PLANOS.

5.2.1.- FAMILIA DE PLANOS QUE CONTIENEN LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.

Recuerde que una recta queda definida si se conocen:

1. Dos puntos

2. Un punto

y una dirección $\overrightarrow{L}$

3. Dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ no paralelos

En la figura se observa como puede trazarse otro plano $\pi_{3}$ no paralelo a $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ que contenga a la recta

. Rote el plano azul en torno a la recta L; tomándolo por su punto a través del ratón.
Observe que de esta manera se pueden seguir añadiendo planos distintos, con la condición que contenga a la recta

y además esto puede hacerse infinitas veces (condición geométrica que distingue la familia de planos que contienen a la intersección de dos planos dados).

El conjunto formado por todos los planos que contienen a una recta

se denomina familia de planos que contienen a la intersección de dos planos dados.

Ya que la recta

está contenida en cada uno de los planos de la familia, resulta que el vector director de la recta es perpendicular a la normal de cada uno de ellos, es decir, si

; con

$i\in N$

entonces

$\overrightarrow{L}$ $\bot$

$\ ,\forall$ $i\in N$

Por lo tanto, los vectores normales a cada uno de los planos de la familia son coplanares.

Sean

las normales de dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ , no paralelos, que pertenezcan a la familia de planos que contienen a

. Si $\pi_{3}$ pertenece a la familia de planos que contienen a

, entonces su vector normal

se puede expresar como combinación lineal de los vectores

, esto es, existen escalares $\alpha,\beta\in R$ tales que:

En general, el vector

de cualquier plano $\pi_{1}$ de la familia se puede expresar como:

y $i\in N$ (1)

así, si

sustituyendo la ecuación (1) en la última ecuación resulta que:

Desarrollando tenemos que:

dividiendo entre $\alpha_{i}$

por lo tanto, cualquier plano $\pi_{i}$

de la familia de planos que contienen a la recta intersección de dos planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$ viene dado por la ecuación:

(2)

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):

By = -Ax-C ->

-> la pendiente es: m = -A/B

ECUACIÓN SIMETRICA DE LA RECTA

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

gráfica

Ecuación canónica o segmentaria

a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

Si y = 0 resulta x = a.

Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k

3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

DEFINICIÓN DE PLANO PROYECTANTE DE UNA RECTA.

Considérese una recta

, con vector director $\overrightarrow{L}$ y un plano $\ \pi$ , con vector normal

, no perpendicualres entre sí

Se define el plano proyectante $\pi _{P}$ de la recta

respecto al plano $\pi$ , como el plano que contiene a la recta

y es perpendicular al plano

De acuerdo a la definición, si se denota con

el vector normal al plano proyectante $\pi _{P}$ entonces como la recta

es paralela al plano $\pi _{P}$ , el vector $\overrightarrow{L}$ director de la recta

es perpendicular al vector

y además como el plano proyectante es perpendicular al plano $\pi$ entonces el vector $\overrightarrow{N}$ normal al plano $\pi$ , también es perpendicualr al vector

. Es decir, los vectores $\overrightarrow{L}$ y $\overrightarrow{N}$ sos paralelos al plano proyectante $\pi _{P}$ .

Posición relativa de una recta y un plano

Caso 1. El rango de la matriz de coeficientes y ampliada es 3 =>La recta y el plano son incidentes en un punto que es la solución del sistema.
Caso 2. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 3 =>La recta y el plano son paralelos.
Caso 3. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 2 =>El plano contiene a la recta.

SUPERFICIE CONSTRUIDA:

Sería la encerrada por el contorno exterior de los muros perimetrales de cerramiento y los ejes de las medianerías. Los balcones, terrazas y porches se contarian de la siguiente forma: - terrazas descubiertas (balcones, cubiertas planas transitables...) no computarían - terrazas cubiertas, porches... cubiertos: al 50% salvo que esten cerrados por 3 de sus 4 lados, en cuyo caso se computarían al 100%. - espacios aprovechables bajo cubierta: computarían aquella superficie con altura libre no inferior a 1.50 m.
Se descontarían los patios de luces, pero no huecos de ascesnor, ojos de escalera y similares.

Ecuación de la superficie esférica

En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio (de tres dimensiones) cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada, o como la esfera, en la geometría elemental del espacio.¹

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio

, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Ecuación de una Superficie cilíndricas

Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que se desplaza manteniéndose paralela a un eje coordenado y apoyándose en una Esp. Lic. Ana María Vozzi - 2 - curva Γ contenida en el plano coordenado perpendicular al eje que contiene a la recta generatriz, a tal curva se la llama directriz.

Supongamos que la ecuación de la directriz : f(x,y)=0 (en el plano xy) .a la que llamamos con anterioridad Γ y sea la recta generatriz paralela al eje z Podemos expresar la superficie como: S={P(x,y,z) / f(x,y)=0 ∀z}

Donde la ecuación la función f(x,y)=0 es la ecuación de la superficie y es válida ∀z . De la misma forma podemos definir una superficie cilíndrica con directriz g(x,z)=0 y de generatriz paralela al eje y. Así como también una superficie con generatriz h(y,z)=0 y generatriz paralela al eje x.

Ejemplo 3: El plano π={ P(x,y,z) / ax+by+d=0 ; ∀z } es un caso particular de superficie cilíndrica cuya directriz es la recta: ax+by-d=0 y de generatriz paralela en al eje z.

Coordenada cilíndrica

Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje $Z\,$ ), perpendicular al plano $XY\,$ , como sigue:

La coordenada radial, $\rho\,$ , es la distancia (en valor absoluto) del punto $P\,$ al eje $Z\,$ .
La coordenada acimutal, $\varphi\,$ , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano $XY\,$ forma con el eje $X\,$ .
La coordenada vertical, $z\,$ , es la distancia (con signo) al plano $XY\,$ .

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

$\rho\in [0,\infty)\qquad {\varphi} \in (-\pi,\pi]\qquad z\in (-\infty,\infty)$

El ángulo $\varphi$ también puede variar en el intervalo [0,2π).

Ecuación de una superficie cónica

Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que gira de manera que uno de sus puntos llamado vértice V que es fijo y apoyándose en una curva Γ que no contiene al vértice, a tal curva se la llama directriz. Supongamos que la ecuación de la directriz sea: f(x,y)=0 (en el plano xy) .y la recta generatriz que cuyo punto fijo es V(0,0,z0) Ejemplo 5: Sea la curva y el vértice V(0,0,0) 0 1 Γ : 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = z b y a x la ecuación de la superficie cónica será :

Ecuación de una superficie cónica

La superficie más simple ya ha sido motivo de nuestro estudio y ella es el plano. La ecuación del mismo, referido a un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, es lineal en las variables x; y y z, es decir : Un punto P(x,y,z)∈ π ⇔ ax+by+cz+d=0 (1) siempre que el vector normal al plano π sea de componentes (a,b,c) y el punto de paso del plano sea P0(x0,y0,z0). La ecuación (1) puede escribirse, generalizando de la siguiente manera: F(x,y,z)=0 (2) donde F es una función de tres variables, que en caso del plano es: ax+by+cz+d Bajo estas hipótesis, cualquier punto del plano P1(x1,y1,z1) deben satisfacer tanto la ecuación (1) como la ecuación (2) o sea que se cumplirá: ax1+by1+cz1+d=0 o lo que es lo mismo F(x1,y1,z1)=0 Generalizando: llamaremos ecuación de una superficie a la relación que involucra las coordenadas de un punto genérico de la misma. Si esta relación es de la forma F(x,y,z)=0, la superficie se podrá caracterizar como el lugar geométrico de puntos del espacio: S={P(x,y,z) / F(x,y,z)=0} Para obtener la ecuación de una superficie, llamaremos (x,y,z) a las coordenadas de un punto de la misma y las ligaremos a las condiciones que representen que efectivamente dicho punto pertenezca a la superficie definida. Es posible definir una superficie dando una propiedad que es cumplida por todos sus puntos, o también como el movimiento de una recta en el espacio sujeto a ciertas condiciones.

Superficies de revolución

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Las superficies de revolución son las figuras geométricas generadas por el giro de una figura del plano alrededor de un eje.

Esfera

La esfera es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.

Un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia.

Cilindro

El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una recta, llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje.

Cono

El cono recto es la superficie de revolución generada por hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo.

Tronco del cono

El tronco del cono recto(o cono truncado recto) es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.

Toro

El toro es una superficie de revolución generada por el giro de uncírculo cuyo centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales.

Superficies regladas

Las superficies regladas es la creación de una superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz manteniéndose en contacto y al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.
En función de las características y condiciones particulares de estos elementos,
recibe diversos nombres:

EL PLANO: Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz.

LAS SUPERFICIES DE CURVATURA SIMPLE: Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).
Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son:

Superficie Cilíndrica: Superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:
- Superficie cilíndrica de revolución: Superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella.
- Superficie cilíndrica de no revolución: superficie cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g).

Superficie cónica: Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto común (V), denominado vértice; se clasifican en:
- Superficie cónica de revolución: Superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V).
- Superficie cónica de no revolución: superficie cónica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.
  
  Transformación de coordenadas rectangulares en el espacio
  
  Coordenadas cartesianas.
  
  Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio.
  
  Así en el eje de los números reales, x=4 se indica de la siguiente manera:
  
  Este tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los números reales R. Similarmente, cuando nos propongamos analizar un fenómeno en que se involucran dos variables (que es el caso del plano), denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar ambas, como pertenecientes a subconjuntos de R². Ya en el espacio estableceremos algo similar para R³. No hay que tener mucha imaginación para deducir que se puede hablar de espacios n-dimensionales en que los valores de las variables de una función los asociaremos con subconjuntos de Rⁿ.
  
  Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Recordando un tanto aspectos ya por Ustedes estudiados, en el plano las coordenadas cartesianas x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada. Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen O cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
  
  Ecuación general de segundo grado con tres variables
  
  De considerable importancia para el desarrollo del siguiente tema es la ecuación generalde segundo grado con tres variables
  
  En donde uno, por lo mendo es de los seis primeros coeficientes es diferente de cero. Aeste tipo de ecuaciones se le llaman superficie cuádrica.
  
  Las superficies como la primera ecuación tienen un centro de simetría, el origen y por estose llaman cuádrica con centro. Las superficies de la otra forma no tiene centro de simetríay se llaman por lo tanto, cuádrica sin centro.
  
  Cuadricas con centro

Cuadricas sin centro

Se llaman así las superficies cuadráticas que no tienen un centro de simetría, su ecuación tiene la forma:

m x² + n y² = s z

Si S es distinto de 0 y m y n tienen el mismo signo, entonces la superficie es un PARABOLOIDE ELÍPTICO O CIRCULAR, según si los valores de m y n son iguales o distintos respectivamente.

Si S es positivo y m y n tienen distinto signo, entonces la superficie es un PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

Si S es distinto de 0 y de m y n, uno es nulo, entonces la superficie es un CILINDRO PARABOLICO.

Curvas en el espacio

Curvas planas en el espacio

una curva en el espacio puede representare analíticamente por dos ecuaciones independientes, las ecuaciones de dos superficies diferentes cualesquiera que pasen por la curva.
Consideremos una curva contenida en un plano no paralelo a, ni coincidente con, un plano coordenado.
Sea C dicha curva, definida como la intersección de una superficie curva S y un plano δ, para construir C debemos obtener un medio para determinar la localización de cualquier punto de la curva.
Tracemos primero un plano δ´ paralelo a uno de los planos coordenados que corte a C. El plano δ´ cortará a S en una curva C´, y a δ en una recta l´.
La intersección de C´ y l´ es un punto de la curva C.

geometria

martes, 17 de mayo de 2016

ecuaciones de plano