geometria

Capitulo III

LÍNEA RECTA

En Geometría una línea recta es aquella que une dos puntos ubicados en un plano, siendo una sucesión ordenada de puntos ininterrumpidos. Es uno de los elementos geométricos básicos y fundamentales, junto al punto y al plano, y se nombra con una letra minúscula. Podemos observar líneas geométricas rectas en el borde de una hoja de papel, o en el contorno de una mesa rectangular o cuadrada, o en un hilo o lana extendidos, etcétera. Las líneas rectas poseen cierta longitud o extensión.

ecuacion de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada

Forma punto - pendiente de la ecuación de una rect

a. Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto -pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente

.

Sea A(x1y1) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de recta se tiene que:

y-y1        

                      = m    Agrupando términos nos queda: 

x- x1

Forma general de la ecuación de una recta.

En esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros y debe ser igualada a cero, su forma simbólica es: Ax + By + C = 0

Nota:

Cuando la ecuación se presente en ésta forma, el termino A deberá ser positivo. Donde A, B y C son los coeficientes de la ecuación e y son las variables

1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

En el plano, dos rectas pueden adoptar dos posiciones relativas: cortarse en un punto o ser paralelas. En el espacio dos rectas pueden adoptar tres posiciones: las dos anteriores y además cruzarse. Visualizaremos en la siguiente escena esas tres situaciones; en ella aparecen dos rectas: una de color negro y otra de color rosa, cada una de ellas determinada por un punto y un vector. Modificaremos estas rectas para que vayan adoptando las tres posiciones fundamentales.

Si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.

Ecuación de la recta en su forma normal

La ecuación de la recta en su forma normal es:

A x+B y+C =       A        x+       B      y         C           = 0     

 √ A2+ B2            √ A2+ B2      √ A2+ B2           √ A2+ B2     

Donde A,B,C2R y los coeficientes A,B no pueden ser cero simultáneamente.

REDUCCION DE LA FORMA GENERAL NORMAL.

Sean 4.u $ i C -= O y cos -4- y sen (o -p = O las ecuaciones de una misma recta escritas en sus formas general

y normal reipec- tivamente; los coeficientes de ambas ecuaciones han de ser iguales o proporcionales. Por tanto,

cos    = sen    = - P    = k ,siendo k la constante de proporcionalidad

A         B           C

En estas condiciones, cos  =  KA ,sen = KB , p = KC7~ Elevando al cuadrado y sumando las dos primeras, cos2 +sen2 =K2(A2+B2)  o sea, 1 = K2(A2 + B2).

De donde

K = 1

   √A2 + B2

Teniendo en cuenta este valor K,

cos              A            , Sen =   B            , -p =    C

        + √ A2 + B2    + √ A2 + B2    + √ A2 + B2

Por consiguiente, la forma normal de AX + By + C = 0 es

                    A            , =          B    =                       C           = 0

        + √ A2 + B2    + √ A2 + B2    + √ A2 + B2

En la que se debe considerar el signo del radical el opuesto al de C. C=O, el signo del radical se considera igual al del B.

Aplicación de la Forma Normal de la Ecuacion de la Recta.

Consideramos como “Forma normal de la ecuación de la recta” a la ecuación dictada de la siguiente manera:

Donde la construcción de ésta, es realizada bajo el concepto de una recta no horizontal que pasa por el origen (O) de un sistema de coordenadas cartesianas, existiendo un punto M donde el mismo es elemento de la recta que justamente es el extremo de una perpedicular trazada desde el eje “X”.

El hecho de la expresión del punto M tal como se muestra, es producto de la correcta relación entre las razones trigonometrícas y el plano.

De tal manera que (p) representa la longitud del segmento OM y (w) es al ángulo conformado entre tal y el eje de las “X”. Esta concepción da hincápie al poder establecer coordenadas en base a las razones trigonométricas (Coseno y Seno), como se muestra en la imagen anterior.

AREA DE UN TRIANGULO

El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

Ecuación de la recta en forma de determinante

FAMILIA DE RECTAS

Familia de línea recta: La ecuación de la recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones independientes, por ejemplo, dos de sus puntos ó uno de sus puntos y su pendiente. Una recta cumple solo una condición, no es una recta única, por lo que existe una infinidad de rectas que satisfacen dicha condición y tiene una propiedad en común. Por lo tanto la totalidad de las rectas que cumplen con una única condición geométrica se denominan “familia de rectas”. Si consideramos a todas las rectas cuya pendiente es 7, la totalidad de ellas forman una familia de rectas paralelas y que tienen como propiedad común que su pendiente es 7.

Capitulo IV

ECUACION DE LA CIRCUFERENCIA

Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria..

Definición.- Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

Teorema 1.- La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante, tiene por ecuación (x-h) +(y-k) =r

Demostración.- Sea P(x,y)(fig.1) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica CP =r , la cual, por el teorema 2 del articulo 6, esta expresada, analíticamente por la ecuación (x-h) +(y-k) =r , de donde, (x-h) +(y-k) =r .

Recíprocamente sea P1 (x1,y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verifica la igualdad (x1-h) +(y1-k)=r

De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada, (x1-h) +(y1-k) =r, que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directo y reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada.

Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h=K=O, y tenemos:

 Corolario.- La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación

x +y =r

 Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirse inmediatamente.

Esto sugiere un metodo para obtener la ecuacion de una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que se necesita es obtener las cordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las condiciones dadas.

La construcción de una circunferencia, en geometría elemental implica la determinación del centro y el radio; el metodo alli empleado, aunque no siempre es el mas corto, puede usarse para obtener una geometría analítica, la ecuación de una circunferencia.

forma general de la ecuacion de la circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia,  así:

Familias de circunferencias

Son todas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por:

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0

Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias.

EJE RADICAL

Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias.

Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0

x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0

La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.

tangente a una curva

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Tangente a una circunferencia

Es una recta que toca a la circunferencia (en general a cualquier curva) en un único punto denominado punto de tangencia.

Teorema y Lugares geométricos relativos a la circuferencia (LG):

Mediatriz: Es el LG de los puntos que equidistan de dos puntos A y B. Es la perpendicular al segmento AB por su punto medio. Bisectriz: Es el LG de los puntos que equidistan de dos líneas r y s.

Circunferencia: Es el LG de los puntos que equidistan de uno, llamado centro.

- Ángulo: entre dos rectas que se cortan en un punto V o vértice, es la amplitud del arco comprendido entre ambas cuyo centro es

- Ángulos complementarios son los que suman 90º y suplementarios 180º.

- Ángulo central: En una circunferencia es el ángulo cuyo vértice está en el centro, la medida del ángulo es la del arco de circunferencia que abarca.

- Ángulo inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está en la circunferencia, su medida es la mitad que la del arco que abarca.

Figura 1: Lugares geométricos y ángulos.

CAPITULO V

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

Transformación

El término transformación hace referencia a la acción o procedimiento mediante el cual algo se modifica, altera o cambia de forma manteniendo su identidad. Adjetivo: transformar

Transformación de coordenadas

Vemos entonces, que moviendo los ejes coordenados paralelamente a sí mismos, hemos

Transformado las coordenadas( x, y) de un punto cualquiera de la circunferencia en las coordenadas

(x , y) y como resultado hemos transformado la ecuación (1) en la ecuación más simple (2). La operación de mover los ejes coordenados en el plano coordenado a una posición diferente, paralelos a los ejes primitivos y dirigidos en el mismo sentido, se llama

Traslación de los ejes coordenadas.

 TRASLACIÓN DE EJES. 

Sean OX y OY los ejes primitivos y OX y OY  , paralelos respectivamente a los anteriores, los nuevos ejes. Sean también (h, k ) las coordenadas de O con respecto al sistema inicial.

Supongamos que (x,  y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes primitivos, ( , ) x y las coordenadas, del mismo punto, respecto de los nuevos. Para determinar x  e y  en función de  x, y; h y k se tiene:

X= MP = M´M + M´P = h+x´

Y= NP = NN´ + N´P = k+y´

Por tanto, las ecuaciones de la traslación de ejes son: x= x +h,  y y +k

ROTACIÓN DE EJES: 

Sean OX y OY los ejes primitivos y O‘X‘ y O’Y’ los nuevos ejes, siendo O el origen común de ambos sistemas. Representemos por el ángulo  X‘OX de la rotación. Supongamos que ( x, y) son las coordenadas de un punto P del  plano con respecto a

 los ejes primitivos, y ( x ,y) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes.

Para determinar x e y en función de x, y y 0 se tiene:

X=OM=ON-MN

   = X cos0- Y´sen0

Y= MP =M´M +M´P = NN´M´P

   = x sen0 + y´cos0

Por lo tanto, las formulas de la rotación 0 de los ejes coordenados son:

Por simplicidad el ángulo de rotación siempre se considera agudo o recto y positivo. Si se quiere obtener los valores de x y de  y, se resuelve el sistema anterior considerando que las incógnitas son  x,  y.

Luego:

Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas

Acabamos de ver que, por una traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, es  posible transformar muchas ecuaciones en formas más simples. Es entonces 1ógico inferir que se puede efectuar una simplificación mayor aun aplicando ambas operaciones a la vez. Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una traslación o una rotación de 1os ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama

Simplificación por transformación de coordenadas

CAPITULO VI

LA PARABOLA

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1,¹ resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.^{2 nota 1 nota 2} Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,^{nota 3} y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen

Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide  con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre)  hacia la derecha.

Por definición, sabemos que, en una parábola  la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”),   cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F”  será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

DEFINICIÓN DE PLANO PROYECTANTE DE UNA RECTA.

Considérese una recta , con vector director  y un plano , con vector normal , no perpendicualres entre sí .

Se define el plano proyectante  de la recta respecto al plano , como el plano que contiene a la recta  y es perpendicular al plano 

De acuerdo a la definición, si se denota con  el vector normal al plano proyectante  entonces como la recta  es paralela al plano , el vector  director de la recta  es perpendicular al vector   y además como el plano proyectante es perpendicular al plano  entonces el vector  normal al plano , también es perpendicualr al vector  . Es decir, los vectores  y  sos paralelos al plano proyectante .

Posición relativa de una recta y un plano

Para conocer la posición relativa de una recta y un plano estudiamos el rango de las matrices de coeficientes y ampliada asociadas al sistema que se forma con las ecuaciones generales de la recta y el planos. Así se presentan los siguientes casos: Para conocer la posición relativa de una recta y un plano estudiamos el rango de las matrices de coeficientes y ampliada asociadas al sistema que se forma con las ecuaciones generales de la recta y el planos. Así se presentan los siguientes casos:  Para conocer la posición relativa de una recta y un plano estudiamos el rango de las matrices de coeficientes y ampliada asociadas al sistema que se forma con las ecuaciones generales de la recta y el planos. Así se presentan los siguientes casos:  Final del formulario

 Caso 1. El rango de la matriz de coeficientes y ampliada es 3 =>La recta y el plano son incidentes en un punto que es la solución del sistema.
Caso 2. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 3 =>La recta y el plano son paralelos.
Caso 3. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 2 =>El plano contiene a la recta. 

SUPERFICIE CONSTRUIDA:

Sería la encerrada por el contorno exterior de los muros perimetrales de cerramiento y los ejes de las medianerías. Los balcones, terrazas y porches se contarian de la siguiente forma:
- terrazas descubiertas (balcones, cubiertas planas transitables...) no computarían
- terrazas cubiertas, porches... cubiertos: al 50% salvo que esten cerrados por 3 de sus 4 lados, en cuyo caso se computarían al 100%.
- espacios aprovechables bajo cubierta: computarían aquella superficie con altura libre no inferior a 1.50 m.

Se descontarían los patios de luces, pero no huecos de ascesnor, ojos de escalera y similares.

Ecuación de la superficie esférica

En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio (de tres dimensiones) cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada, o como la esfera, en la geometría elemental del espacio.¹ 

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Ecuación de una Superficie cilíndricas

 Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que se desplaza manteniéndose paralela a un eje coordenado y apoyándose en una Esp. Lic. Ana María Vozzi - 2 - curva Γ contenida en el plano coordenado perpendicular al eje que contiene a la recta generatriz, a tal curva se la llama directriz.

Supongamos que la ecuación de la directriz : f(x,y)=0 (en el plano xy) .a la que llamamos con anterioridad Γ y sea la recta generatriz paralela al eje z Podemos expresar la superficie como: S={P(x,y,z) / f(x,y)=0 ∀z}

Donde la ecuación la función f(x,y)=0 es la ecuación de la superficie y es válida ∀z . De la misma forma podemos definir una superficie cilíndrica con directriz g(x,z)=0 y de generatriz paralela al eje y. Así como también una superficie con generatriz h(y,z)=0 y generatriz paralela al eje x.

Ejemplo 3: El plano π={ P(x,y,z) / ax+by+d=0 ; ∀z } es un caso particular de superficie cilíndrica cuya directriz es la recta: ax+by-d=0 y de generatriz paralela en al eje z.

Coordenada cilíndrica

Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue:

La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto  al eje .

La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano  forma con el eje .

La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano .

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo  también puede variar en el intervalo [0,2π).

Ecuación de una superficie cónica

Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que gira de manera que uno de sus puntos llamado vértice V que es fijo y apoyándose en una curva Γ que no contiene al vértice, a tal curva se la llama directriz. Supongamos que la ecuación de la directriz sea: f(x,y)=0 (en el plano xy) .y la recta generatriz que cuyo punto fijo es V(0,0,z0) Ejemplo 5: Sea la curva y el vértice V(0,0,0) 0 1 Γ : 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = z b y a x la ecuación de la superficie cónica será :

 PARABOLA

Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado.

con Vertice fuera del origen Parabola con vértice en H,K y eje paralelo a un eje coordenado Consideramos una parabola cuyo eje sea paralelo a un 
eje coordenado, pero que no coincide con este.
Si trasladamos los ejes coordenados de manera que el 
nuevo origen O´coincida con el vértice (H.K) entonces la distancia 
del vértice al foco es (A) y la ecuación de la parábola
respecto a los nuevos ejes x1,y1 es (y1)2=4AX1
Las ecuaciones de transformación
para una traslación del eje son:
x=x1+h,y=y1+k De donde x=x-h,y1=y-k Si se sustituyen los valores de x1 y y1 en la ecuacion de la parabola se obtiene (y-k)2= 4a (x-h) Fin... La mayoria de las ideas fundamentales de la 
ciencia son esencialmente sencillas
y por regla general pueden ser expresadas en un
lenguaje comprensible para todos 

Ecuación de la tangente a una parábola

Hallar la ecuaciÛn de la tangente a la par·bola x 2 + 4x + 12y 8 = 0, que es paralela a la recta 4x + 8y 7 = 0. SoluciÛn: Para determinar la pendiente de la recta 4x+ 8y 7 = 0, debemos escribirla en la forma y = mx + b, y = 1 2 x + 7 8 Por tanto, la pendiente de la recta es m = 1=2 La familia de rectas de pendiente 1=2 es y = 1 2 x + k que sustituida en la ecuaciÛn de la par·bola nos da x 2 + 4x + 12  1 2 x + k 8 = 0 que se reduce a x 2 2x + 12k 8 = 0 Debemos exigir que esta ecuaciÛn tenga una ˙nica soluciÛn, haciendo su discriminante igual a cero; es decir, (2)2 4 (1) (12k 8) = 36 48k = 0 que tiene como ˙nica soluciÛn k = 3 4 Por tanto, la ecuaciÛn de la lÌnea recta tangente de pendiente 1=2 es y = 1 2 x + 3 4

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es unecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

ALGUNAS APLICACIONES DE LA PARABOLA

Las aplicaciones de las parabolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nosinteresa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. La direcciónde propagación de una onda se representa mediante líneas que se denominan rayos ysegún la forma de la superficie en la que inciden así será la dirección de los rayosreflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólicatodos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto que se denomina

 foco

. Esta es la propiedad fundamental en que se basan todos los ingenios parabólicos.Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas parabólicas y radiotelescopiosaprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en unreceptor colocado en la posición del foco. . Un satélite envía información a la Tierra,estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra elsatélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergenen el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También enlos telescopios se usa esta propiedad.

LA ELIPSE

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.² Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también de una circunferencia.

PROPIEDADES DE LA ELIPSE:

La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están en el eje real. La distancia focal F1-F2se representa por 2c.

Entre a, b y c existe la relación: a²=b²+c²

La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radio vectores r1 y r2 y por la definición se verifica: r1+r2=2a.

La circunferencia principal C_p de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales C_f1 y C_f2 de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a.

La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.

HIPERBOLA

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F₁ y F₂, la línea negra que une los vértices es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D₁ y D₂. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

Primera ecuación ordinaria de la hipérbola.

Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 1). Los focos F’ y F están entonces sobre el eje X. como el centro O es el punto medio del segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definición geométrica siguientes, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante.

(1)
En donde z es una constante positiva y 2a <>(3)

La relación (2) es verdadera cuando P está sobre la rema izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Por la ecuación de distancia entre dos puntos, tenemos

(4)

De manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por

(5)

Correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3), respectivamente.

Para simplificar la ecuación (5), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

(6)

Elevando al cuadrado nuevamente, obtenemos

(7)

De donde

(8)

Como 2a > 2c es a2 > c2 y a2 – c2 es un numero positivo que puede ser remplazado por el numero b2, es decir,

Y dividiendo por a2b2, se obtiene finalmente,

(9)

Podemos demostrar recíprocamente, que si P1(x1,y1) es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8), entonces P1 satisface la condición geométrica (1) y, por lo tanto, está sobre la hipérbola. Luego la ecuación (8) es la ecuación de la hipérbola.

Un elemento importante de una elipse es su Excentricidad que se define como la razón c/a y se representa usualmente por la letra e

De (8) tenemos

Como c

Asintotas de la hiperbola
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:

Pero, para valores grandes de x ,   x , siempre que a sea un número fijo. En efecto:

        

                           

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.

Hipérbola equilátera o rectangular

En una hipérbola equilátera, las asíntotas son perpendiculares entre sí. En ese caso, la ecuación cumple con:

La ecuación de una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas a los ejes coordenados, puede escribirse:

(h,k) es el centro de la hipérbola.

X = h e y = k son las asíntotas.

Si c > 0, entonces x>h e y>k ó x<h e y<k

         Es decir, la hipérbola tiene sus ramas en el primer y tercer cuadrante.

Si c < 0, entonces x>h e y<k ó x<h e y>k

         Es decir, la hipérbola tiene sus ramas en el segundo y cuarto cuadrante.

Hiperbola conjugada

Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra , y también se dice que cada hipérbola es conjugada con respecto a la otra. Si la ecuación de una hipérbola es

x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1

entonces, de acuerdo con la definición, su hipérbola conjugada es

 y 2 b 2 − x 2 a 2 = 1

Es fácil ver que un par de hipérbolas conjugadas tienen un centro común, un par común de asíntotas, y todos sus focos equidistan del centro.

Ejemplo de hipérbolas conjugadas En la siguiente figura mostramos dos hipérbolas conjugadas, junto con sus asíntotas. Nótese que los focos equidistan del centro.

Segunda Ecuación ordinaria de la hipérbola.

Si el centro de una hipérbola no está no esta en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, consideraremos la elipse cuyo centro esta en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la hiperbola, respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O' coincida con el centro (h,k) de la hiperbola, se sigue, que la ecuacion de la hiperbola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' esta dada por

De la ecuacion anterior puede deducirse la ecuacion de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y usando las ecuaciones de transformacion

x = x' +h y = y' + k

de donde

x' = x +h y' = y + k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuacion (9) obtenemos

que es la ecuación de la hiperbola referida a los ejes originales X y Y

PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA:

La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.
Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.
La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.
La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a.
La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco.
Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

Primer resumen relativo a las secciones cónicas.

La parábola, elipse e hipérbola se llaman secciones cónicas o, sim plem ente, cónicas. Hemos visto que si la ecuación A x i + Cy2 + D x + E y + F = 0 representa un lugar geométrico re a l, éste debe ser una sección cónica con uno de sus ejes paralelo (o coincidente) con uno de los ejes coordenados , o bien uno de los casos excepcionales de un punto , dos rectas coincidentes, dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan. Estos casos excepcionales se llaman tam bién formas limite de las cónicas o cónicas degeneradas. E n el cuadro que se da a continuación , hemos indicado los resultados principales obtenidos hasta a q u í. Por conveniencia nos referimos al eje único de la parábola como a su eje focal. A dem ás, para que el cuadro quede com pleto, hemos indicado que la parábola tiene una excentricidad igual a la u n id a d ; esto será establecido en el capítulo siguiente. Como la elipse y la hipérpola tienen cada una un centro , se llaman cónicas centrales. La parábo la, no teniendo cen tro , se llama cónica no central. La circunferencia puede considerarse como un caso especial de la elipse. E n la formación del cuadro, ha sido necesario, debido al tam año limitado de la p ág in a, restringir algunos de los datos a referencias para otras partes del lib ro . El estudiante debe , por lo tanto , reproducir la tabla completa en una hoja de papel suficientemente grande e incluir todos los datos dados en las referencias. Puede añadir también otros d a to s, como , por ejemplo las ecuaciones de las tangentes a las cónicas.

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

INTRODUCCION

A x 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. (1 )

E n particular, consideraremos el caso en que la ecuación (1 ) contiene un término en x y , es decir, el caso en que B 0. Demostraremos que por medio de una rotación de los ejes coordenados siempre es posible transform ar la ecuación (1 ) en otra de la forma A 'xn + C Y 2 + D>x> + E 'y ' + F ’ = 0 , (2) en la que uno de los coeficientes i ' y C ', por lo m enos, es diferente de cero , y no aparece el término en x' y ' .

Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados.

Apliquemos a la ecuación general A x 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , (1) en donde B 0 , las ecuaciones de transformación por rotación x = x' eos 6 — y' sen 6 , y = x' sen 6 + y' eos 6 ,

El Indicador I=B2-4AC

si los ejes coordenados giran un ángulo 6 , la ecuación general

A x 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , B ^ 0 , (1)

se transforma en la ecuación A 'x'2 + B 'x'y' + C 'yn + D 'x' + E 'y ' + F ' = 0 , (2)

en donde,

 A ' = A eos2 9 + B sen 9 eos 9 + C sen2 9 ,

 B’ — 2(C — A) sen 0 eos 9 + 5(cos2 6 — sen2 9),

 C' — A sen2 9 — B sen 9 eos 9 + C eos2 6 ,

D' = D eos 6 + E sen 6 , ^

 E' = E eos 6 — D sen 9 ,

F' = F .

Más a u n , si se selecciona el ángulo de rotación 9 como lo especifica el teorema 1 del Artículo 73 , la ecuación (2) toma la forma A 'x'2 + C 'yr2 + D 'x' + E 'y' + F ' = 0.

Definicion general de conica

Dada una recta fija l y un punto fijo F no contenido en esa re c ta , se llama cónica al lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de l y F de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de l es siempre igual a una constante positiva. La recta fija l se llama directriz, el punto fijo F , foco, y la constante positiva, a la que designaremos por e, excentricidad de la cónica. Cuando e = 1 , la definición anterior es la de la parábola.Sin ninguna pérdida de generalidad , podemos tomar el eje Y como directriz del punto F ( p , 0 ) , p 0 , como foco. Sea P ( x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico. Desde P tracemos el segmento P A perpendicular al eje Y . Entonces, por la definición an terio r, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

TANGENTE A LA CONICA GENERAL

La determinación de las ecuaciones de las tangentes a las cónicas se facilita considerablemente por el uso de la ecuación de la tangente a la cónica general, A x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

SISTEMAS DE CONICAS

En la ecuación general de las cónicas, A x 2 4- Bxy 4- Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , (1) los coeficientes representan seis constantes arbitrarias que, sin em bargo , no son independientes, porque uno cuando menos de los tres coeficientes A , B y C es diferente de cero, y , si dividimos la ecuación (1) por uno de estos coeficiente 3 diferentes de cero vemos que solamente hay cinco constantes arbitrarias o parámetros independientes. Por tan to , la ecuación de una cónica está perfectamente determinada por cinco condiciones independientes, como m áxim o. Por ejem plo, una cónica está determinada si se conocen las coordenadas de cinco cualesquiera de sus puntos. Para una parábola , sin em bargo, sólo se requieren cuatro condiciones, pues en este caso los coeficientes de la ecuación (1 ) satisfacen la relación B 2 — 4AC = 0. Para d eterm inar la ecuación de una cónica que pasa por un grupo de cinco puntos dados, basta sustituir las coordenadas de cada uno de estos puntos en la ecuación (1) y resolver el sistema resultante de cinco ecuaciones, para cinco cualesquiera de los coeficientes, en términos del sexto coeficiente , siempre que este último coeficiente sea diferente de cero. Si una ecuación algebraica de segundo grado con dos variables contiene una o más constantes arbitrarias o parámetros independientes, representa , en general, una fam ilia o sistema de cónicas. Hemos discutido anteriormente los sistemas de rectas y los sistemas de circunferencias ;por tanto , los principios básicos de los sistemas de curvas son ya familiares al lector.

SECCIONES PLANAS DE UN CONO CIRCULAR RECTO

Se trata de un cuerpo formado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Otra de las formas de armar un conoes haciendo girar una semirrecta alrededor de un eje que es ortogonal al plano de una circunferencia y que pasa por su centro. La condición de este giro es que el origen de la semirrecta pertenezca al eje y que la semirrecta no sea perpendicular al mismo.

Los elementos de un cono circular recto son el vértice, la base, el eje y la generatriz. El vértice es la cúspide del cono y es el origen de la semirrecta. El eje es la recta perpendicular a la circunferencia que es la base del cono, y la generatriz es la recta que une el vértice con los puntos pertenecientes al perímetro de la circunferencia.

COORDENADAS POLARES

H asta este p u n to , en nuestro estudio de propiedades geométricas por métodos analíticos, hemos utilizado un solo sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sistema de- coordenadas polares. E n vista de la utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , el lector puede pensar que no hay necesidad de considerar otro sistem a. Pero veremos , sin embargo , que para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares presenta algunas ventajas sobre las coordenadas rectangulares

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigidaOP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

DEFINICIÓN (COORDENADAS POLARES). Fijamos un origen O (usualmente el origen de coordenadas) en el plano y un rayo que parte de O (usualmente el semieje positivo OX )

Cada punto P del plano se puede definir asignándole un par de coordenadas polares ( ) r, , θ de forma que r es la longitud del segmento OP y θ es el ángulo (orientado) desde el rayo inicial hasta el segmento OP.

PASO DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Y VICEVERSA

Calcula el valor de r o del radio en coordenadas polares mediante la fórmula r = raíz cuadrada (x^2 + y^2). Por ejemplo, el valor de r de las coordenadas rectangulares (3, 4) es igual a la raíz cuadrada de 3^2 + 4^2, que es la raíz cuadrada de 25, que es 5.

Calcula el valor de theta o ángulo en coordenadas polares utilizando la fórmula theta = arctan y/x. En el ejemplo anterior, el valor de theta es igual a arctan 4/3, que es igual a aproximadamente 53,13 grados o 0,92 radianes.

Verifica las coordenadas polares utilizando las fórmulas y = r sen theta y x = r cos theta. En el ejemplo anterior, calcula 5 sen 53,13 y 5 cos 53,13 para verificar que son iguales a 4 y 3, respectivamente.

Traza el punto en coordenadas polares trazando el ángulo theta en sentido antihorario desde el eje x positivo y dibujando un punto a una distancia de r desde el origen. En el ejemplo anterior, dibuja un punto en coordenadas polares que es de 53,13 grados en sentido contrario a las manecillas desde el eje x positivo y 5 unidades desde el origen.

Trazado de curvas en coordenadas polares

 DEFINICIÓN

Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizarcualquier punto del plano. En el sistema rectangular, llamado así a que lascoordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo, esto seefectúa refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendicularmente llamadas

ejesde coordenadas (XY).

En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta.La recta fija se hace llamar

eje polar;

el punto fijo se llama

 polo.

Como semuestra en la figura 1, la recta horizontal OA es el eje polar y el punto O es el polo.Tracemos el segmento OP y designemos su lo

ngitud por r. Llamemos θ

a1ángulo AOP. Evidentemente, la posición del punto P con relación a1 eje polar ya1 polo es determinada cuando se conocen r y

θ

. Estas dos cantidades se llamanlas coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y 8ángulo polar, ángulo vectorial o argumento de P. Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose primero el radio vector.Así, las coordenadas de P se escriben ( r ,

θ

 ). La línea recta que pasa por el poloy es perpendicular a1 eje polar se llama el eje a 90º.El ángulo polar

θ

 se mide como en Trigonometría considerando el eje polarcomo lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativosegún que el sentido seguido sea opuesto a1 de las manecillas de un reloj o elmismo. Algunos autores, siguiendo 10s convenios hechos en Trigonometría,consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otrosautores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valoresreales. Nosotros seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tieneun radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria

y después se toma el radio vector en la prolongaci6n del lado final. Así, un puntoP, de coordenadas (- r ,

θ

 ) , se localiza como se indica en la figura 1.

Para construcción de curvas en coordenadas polares se siguen los siguientes pasos

1. Determinación de las intersecciones con el eje polar (eje X) y conel eje a 90º(eje Y).
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90º yal polo.
3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.
4. Calculo de lascoordenadas de un número suficiente de puntos para obtener la grafica.
5. Trazado de la grafica.
6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Nota: En coordenadas polares las ecuaciones querepresentan un mismo lugar geométrico, se le llaman ecuaciones equivalentes.1.

Interseccion de curvas dadas en coordenadas polares

INTERSECCION DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Las intersecciones de dos curvas dadas en coordenadas polares se determina resolviendo las ecuación r y θ
Ejemplo: Hallar los puntos de la intersecciónde las curvas
r=a(1+2cosθ), r=acosθ
Solución:
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
r=a(1+2cosθ)r=acosθ
a1+2cosθ=acosθ
cosθ=-1 θ=π
Sustituyendo el valor encualquiera de las ecuaciones se tiene r=-a, luego el punto de intersecciones es (-a,π) ( si r=0, ambas ecuaciones tienen solución).
Observación : consideremos la ecuación de una curva en coordenadaspolares.
r=⨍(θ) …(1)
La misma curva está dada por (-1)n r=⨍(θ+nπ), n∈z ….(2)
En efecto:
n=0, r=⨍(θ)
n=1, r=⨍(θ+2π), p(-r,θ+π)p(-r,θ+2π)
n=2, r=⨍(θ+2π) p(r,θ+2π)
por lo tanto (1) y (2) son equivalentes.
Luego para hallar los puntos de intersección de lascurvas r=⨍(θ) y r=g(θ)se sigue los siguientes pasos:
1) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las curvas aplicando (2) en cada una de ellasr=⨍1(θ)r=g1(θ)r=⨍2(θ)r=g2(θ)r=⨍3(θ)r=g4(θ) …(3)
2) Se resuelven las ecuaciones simultáneas.
r=⨍(θ)r=g(θ)r=⨍2(θ)r=g2(θ)
3) Se verifica si el polo es el punto de intersección haciendo r=0 en cada ecuación para determinarsi existen solución para θ(no necesariamente la misma).

FORMULA DE DIASTACIA ENTRE DOS PUNTOS

Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x₂ – x₁) .

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P₁P₂ y emplear el Teorema de Pitágoras.

ECUACION DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigidaOP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

ECUACION DE LA CIRCUNFERNCIA EN COORDENADAS POLARES

*Cuando la circunferencia  tiene centro  en  el  origen  y el radio es  c, se describe  en coordenadas  polares  como 


*Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto  y el radio es , la ecuación se transforma en:

ECUACION GENERAL DE LAS CONICAS EN COORDENADAS POLARES

Si el polo se sitúa en el foco, el eje polar es perpendicular y va en dirección opuesta a la directriz (cuya distancia al foco es d), y la cónica está en el mismo semiplano que el foco respecto de la directriz, entonces la ecuación de la cónica en coordenadas polares es ρ α = − p/1 e cos,  donde p es el parámetro focal, p = e.d (longitud de la semicuerda focal).

ECUACIONES PARAMETRICAS

REPRESENTACION PARAMETRICA DE LAS CONICAS

LA CICLOIDE

La Cicloide puede ser definida como la curva plana que es descrita físicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal. Es inmediato que si pensamos en el punto de contacto de la circunferencia con la recta en el instante inicial del comienzo del rodamiento, este punto describe un arco hasta volver a tocar de nuevo la recta horizontal sobre la cual se produce la rodadura de la circunferencia. Este arco, pues, estará encerrando un área plana sobre dicha recta horizontal en el intervalo [0, 2pR]. Aun cuando parece ser que fue Galileo Galilei (1564-1642) el primero en estudiar esta curiosa curva, sin embargo, la historia de la Cicloide como objeto del quehacer fisicomatemático en Europa arranca desde 1637, unos pocos años antes de la muerte de este gran científico.

EPICICLOIDE

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia(generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal. 

ECUACION

Considerando la figura podemos escribir:

con   y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e:  . De aquí se tiene que 

CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

LA SINUSOIDE

En matemáticas, se llama sinusoide o senoide la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí.

CURVA LOGARITMICA

Una curva logaritmica es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas y el eje de ordenadas tienen escala logarítmica. o semi curvas lineales

Si la representación se hace manualmente, se emplea papel logarítmico,¹ que posee la escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales, de base 10.

CURVA EXPONENCIAL

La expresión curva exponencial se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo, de acuerdo a la ecuación:

Donde:

 Es valor de la magnitud en el instante  ;

 Es el valor inicial de la variable, valor en  , cuando empezamos a medirla;

 Es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre   y  ;

 = 2,718281828459...

La expresión se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma   con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación   y  un valor entero. Por ejemplo, si , entonces  . Si   entonces . Y así sucesivamente.

índice

Construcción de las curvas del espacio:

Un breve resumen de los métodos que pueden emplearse en la construcción de curvas en el espacio de las ecuaciones que la definen. Si una de las ecuaciones de una curva representa un plano, la curva es una curva plana y puede construirse. Si ambas ecuaciones de una de curva representa un plano plano, la curva es una curva plana y puede construirse del a manera anteriormente mencionada. Si ambas ecuaciones de una curva representa cilindros rectos cuyas generatrices son perpendiculares a un plano coordenado, la curva puede construirse si las ecuaciones que define la curva en el espacio no caen bajo ninguno de estos casos, procedemos como nombramos anteriormente  a saber, determinar las ecuaciones de los tres cilindros proyectados y construir entonces una curva como intersección de dos cualesquiera de estos cilindros. El proceso en este último caso consiste en reducir el problema.

Tipos de curvas

Elipsoide: en elipsoide es un cuadricula análoga a la elipse pero con una dimensión más. La ecuación de de un elipsoide con centro de origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

Donde a,b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x.y,z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

Esfera: En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio (de tres dimensiones) cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada, o como la esfera, en la geometría elemental del espacio.^[1] Obviamente, la esfera es un sólido geométrico.

La esfera, como superficie de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

La esfera ( superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denominan radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro. ^{[  ]}Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio.

El volumen, , de una esfera se expresa en función de su radio como:

Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:

Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.

Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor de π:

Paraboloide: En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:

Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente

Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario:

.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se puede construir a partir de rectas. Por su apariencia, también se lo denomina superficie de silla de montar.

Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo:

Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que es la superficie resultante de girar una parábola en torno a su eje de simetría. Las antenas parabólicas son paraboloides de revolución, y tienen la propiedad de reflejar los rayos paralelos entrantes hacia su foco, punto donde se ubica el receptor.

Hiperboloide: El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

,

en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Ecuaciones paramétricas de una curva del espacio

Consideremos, para fijar ideas, una función vectorial continua

r (t ) = x (t) I + y (t) j + z (t) k \ . t ∈ I ⊂ R

cuyos valores son vectores de posición que fijan la posición de distintos puntos p del espacio.Aunque no hemos definido la continuidad de una función vectorial, el lector con conocimientossobre las funciones de una variable podrá admitir sin dificultad que si la función es continua dospuntos P1 y P2 correspondientes a valores t1 y t2 se encontrarán tan próximos como se quierasin más que exigir que It1-t2I<<1. Por tanto, es razonable afirmar que la imagen.  

C ={x I + y j+ z k ∈ R3 \ . x = x ( t ) ,y = y ( t ) ,z = z ( t ) , t ∈ I} ,

de la función anterior define una curva en el espacio, que denotamos  c y que no posee saltos niagujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notación

C : r ( t ) = x (t) I + y (t) j + z (t) k , t ∈ I,

para señalar de forma simplificada que la curva c viene parametrizada por dicha función vecto-rial. Las ecuaciones

x = x ( t ); y = y ( t ); z = z ( t),

Construcción de volúmenes

Método de construcción de Volúmenes

VOLÚMENES Y POLIEDROS

1. CONCEPTOS

Un volumen, cuerpo o sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por un

número determinado de caras o superficies, que pueden ser planas o curvas. A diferencia de las figuras planas, los volúmenes son tridimensionales. En general, Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:

• Los poliedros (cuerpos planos), que son cuerpos geométricos limitados por polígonos.

• Los cuerpos redondos, que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

2. POLIEDROS.

En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales: Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.

•Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.

• Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas.

Asimismo, también podemos hablar de:

• Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Hay que distinguir entre las diagonales del poliedro y las de los polígonos que forman sus caras.

PRINCIPALES TIPOS DE POLIEDROS

REGULARES

Todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre igual número de caras

Tetraedro

Tiene cuatro caras en forma de triángulos equilátero y cuatro vértices, en cada uno de los cuales concurren tres caras

Cubo o Hexaedro

Sus seis caras son cuadrados

Octaedro

Ocho caras con forma de triángulo equilátero, aparece como dos pirámides unidas por sus base.

Icosaedro

veinte caras con forma de triángulo equilátero, que tiene un eje plano hexagonal.

Dodecaedro

Doce caras con forma de Pentágono.

IRREGULARES

Sus caras son diferentes polígonos

Prisma Recto

Poliedro compuesto por caras laterales rectangulares (pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado o polígono regular.

Prisma oblicuo

Es un prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases. Solo puede tener bases cuadradas.

Pirámide recta

Es un poliedro cuya única base es un polígono regular y cuyas caras laterales son triángulos que

coinciden en un punto común llamado vértice, que se encuentra en la misma perpendicular a la base que pasa por su centro.

Pirámide truncada

Poliedro limitado por la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales. Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas.

2. CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos no están limitados por polígonos. Dentro de los cuerpos hay que destacar

los volúmenes o sólidos de revolución, que son los generados al hacer girar una figura plana alrededor

de un eje.

CILINDRO

• Un cilindro es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de

uno de sus lados.

• Está compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a

un rectángulo.

• Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman

generatrices.

CONO

• Un cono es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar

alrededor de uno de sus catetos.

• La base es un círculo y la distancia entre la base y el vértice se llama altura del cono.

• La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cual se gira

es la altura, h.

• El otro cateto es el radio, r, de la base.

ESFERA

• Se llama superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio que

equidistan de uno interior llamado centro

• Se llama esfera a una superficie esférica y su interior.

• Se llama superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio que

equidistan de uno interior llamado centro.

• Se llama esfera a una superficie esférica y su interior.

3. DESARROLLO DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS PRINCIPALES

Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola

pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro. El diagrama o desarrollo de un

poliedro, consiste, por lo tanto, en extender todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un

mismo plano.

El desarrollo de un volumen tiene dos utilidades fundamentales, ya que permite obtener un

diseño plano de los diferentes cuerpos geométricos, facilitando tanto su construcción tridimensional en

materiales apropiados (cartulina, chapa metálica o madera laminar), como el cálculo de la superficie

total que ocupan las caras que lo determinan.

Poliedros regulares

Prismas

Pirámides

Cilindro

Apéndice 1

Geometria: La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente está constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 360 días, además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.[1] En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría[2] en forma axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.

Algebra: El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.[2] [3] En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.^[4] El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.

Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

Trigonometría: La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

Alfabeto griego: El alfabeto griego es un alfabeto de veinticuatro letras utilizado para escribir la lengua griega. Desarrollado alrededor del siglo IX a. C. a partir del alfabeto consonántico fenicio, los griegos adoptaron el primer alfabeto completo de la historia, entendiéndolo como la escritura que expresa los sonidos individuales del idioma, es decir que prácticamente a cada vocal y cada consonante corresponde un símbolo distinto.

Su uso continúa hasta nuestros días, tanto como alfabeto nativo del griego moderno como a modo de crear denominaciones técnicas para las ciencias, en especial la lógica, la matemática, la física, la astronomía y la informática.

Apéndice 2

Tablas

Logaritmos comunes:

Uso de la Tabla de Logaritmos.

Para poder calcular con la tabla de logaritmos debemos tener en cuenta lo siguiente.-

Un logaritmo cuenta con dos partes:

·                     a) Característica = que es la parte entera de una cifra.

·                     b) Mantiza = que es la parte decimal de una cifra.

Forma de calcular a través de la tabla de logaritmos.

1.- Paso:

Se debe contar los dígitos de la parte entera de la cifra y al total restarle 1.

Ejem:           

                  Log 85975 =  Tiene 5 dígitos por lo tanto seria = 4,

                  Log 245,75 = Tiene 3 dígitos por lo tanto seria = 2,

2.- Paso:

Se debe tomar los 2 primeros dígitos de la cifra los cuales indicarían la fila a la que pertenece.

Ejem:           

                  Log 85975 =  El par seria = Fila 85.

                  Log 245,75 = El par seria = Fila 24.

3.- Paso:

Se debe tomar el 3er digito de la cifra el cual indicara la columna a la cual pertenece.

Ejem:           

                  Log 85975 =  Esto seria = Columna 9.

                  Log 245,75 = Esto seria = Columna 5.

Resumen:

Log 857 = tiene 3 dígitos entonces quedarían 2, pertenece a la fila 85, columna 7 y seria igual a: "Log 2,9330".

Número	Logaritmo	Logaritmo neperiano
1	0,000000	0,000000
2	0,301030	0,693147
3	0,477121	1,098612
4	0,602060	1,386294
5	0,698970	1,609438
6	0,778151	1,791759
7	0,845098	1,945910
8	0,903090	2,079442
9	0,954243	2,197225
10	1,000000	2,302585
11	1,041393	2,397895
12	1,079181	2,484907
13	1,113943	2,564949
14	1,146128	2,639057
15	1,176091	2,708050
16	1,204120	2,772589
17	1,230449	2,833213
18	1,255273	2,890372
19	1,278754	2,944439
20	1,301030	2,995732
21	1,322219	3,044522
22	1,342423	3,091042
23	1,361728	3,135494
24	1,380211	3,178054
25	1,397940	3,218876
26	1,414973	3,258097
27	1,431364	3,295837
28	1,447158	3,332205
29	1,462398	3,367296
30	1,477121	3,401197
31	1,491362	3,433987
32	1,505150	3,465736
33	1,518514	3,496508
34	1,531479	3,526361
35	1,544068	3,555348
36	1,556303	3,583519
37	1,568202	3,610918
38	1,579784	3,637586
39	1,591065	3,663562
40	1,602060	3,688879

Funciones trigonométricas naturales

Tabla de funciones trigonométricas son inscritos en una tabla y calculados valores de senos, cosenos, tangentes, cotangentes de los ángulos desde 0º hasta 360º. Usando la tabla de funciones tigonométricas Usted podrá hacer cálculos aunque no tenga a mano una calculadora para ingenieros. Para saber el valor de funciones trigonométricas del ángulo necesario Usted sólo tiene que encontrarlas en la tabla.

­­valores de e^x y e^-x  : Pues bien, supongamos que "IMPORTE" son valores normales (SUMA) y el "TOTAL" es una cuenta (es decir, no es una suma, ni promedio, ni var, ni etc.). Pues bien, si quiero hacer un campo calculado que sea IMPORTE*TOTAL no me deja ya que los valores de "TOTAL" son una cuenta (no una suma) y entonces no me lo reconoce....por lo que veo los campos calculados solo se pueden hacer con valores originales de las tablas (puedes multiplicarlos por 2, dividirlos,sumar, etc pero siempre con valores originales de las tablas) en el momento en que a un valor le aplicas cuenta, promedio, etc ya no te deja utilizar lo que has aplicado.

Potencias y raíces de enteros:

¿Qué es una potencia? Una potencia cuya base es un número entero y cuyo exponente es un número natural, es un producto de factores iguales.

      an = a · a · a · … · a

el producto se hace n veces

La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el número de veces que se repite la base.

Ejemplos:

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3

(-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2)

0² = 0 · 0

40 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 veces)

Signo de una potencia

Al calcular potencias de base un número entero, presta atención al signo de la base y al exponente.

También debes distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia.

No es lo mismo -3⁴ que (-3)⁴

En general cualquier potencia de un número positivo será positiva. Y el opuesto de esa potencia será siempre negativo.

Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo.

Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo.

Ejemplos:

34 = 81

33 = 27

(-2)8 = 256

(-2)9 = -512 28 = 256 -28 = -256 (se trata del opuesto de la potencia anterior)

50 = 1 -50 = -1 (de nuevo el opuesto)

EJERCICIOS resueltos

1.       Calcula el valor de las potencias siguientes: 42 , -42 , (-4)2 y -40

42 = 16

 -42 = -16

(-4)2 = 16

 -40 = -1

2. Calcula el valor de las potencias: -35 , (-3)5 , (-3)0 y -30

-3⁵ = -243

(-3)⁵ = -243

(-3)⁰ = 1

-3⁰ = -1

3. ¿Es lo mismo calcular ab que ba ?

 En general no es lo mismo.

 Esto ¿qué quiere decir? Pues que normalmente las dos potencias no darán el mismo resultado, pero puede ocurrir que en algún caso sí coincidan.

Por ejemplo 23 = 8, que no coincide con 32 = 9. Esto es lo que es normal.

Ahora bien, fíjate en 24 y 42 . Ambas potencias valen 16.

¿Eres capaz de encontrar algún otro ejemplo en el que coincidan?

Cuadrados perfectos Un cuadrado perfecto es un número que es cuadrado de algún número entero.

Como es lógico, la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es siempre un número entero. Por ejemplo cuadrados perfectos son:

0 porque 0 = 02 , 4 porque 4 = 22 , 9 porque 9 = 32 ...

Para resolver una actividad de proporcionalidad compuesta se hace de forma ordenada con el procedimiento de reducción a la unidad.

 Raíces cuadradas

Veamos un ejemplo. Al escribir el número haz grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: 75 y 9.

Cálculo de la raíz:

 Busca el número cuyo cuadrado más se acerca a 9. Es 3.

32 = 9, lo restamos de 9 y bajamos las dos cifras siguientes.

Bajo el 3 escribimos su doble, 6

Busca el número 6x, tal que 6x·x sea el más cercano a 75 sin pasarse.

62·2=124 se pasa, 61·1=61 sí sirve.

Restamos 75-61 = 14. Ponemos dos ceros y una coma en el radicando.

Abajo escribimos el doble de 31, 62

Busca 62x tal que 62x·x sea el más cercano a 1400 sin pasarse.

622·2 = 1244 es el más cercano.

 Por tanto ≈ 2,31975

Para hallar más decimales, escribe dos ceros tras el 156 y repite el proceso.

EJERCICIOS resueltos

1.       Indica si los números 123, 169 y 258 son cuadrados perfectos.

123 no lo es, puesto que 112 = 121, 122 = 144

169 = 132 es un cuadrado perfecto. (Es el área de un cuadrado de 13 unidades de lado.) 258 no lo es, ya que 162 = 256 y 172 = 289

1.       Con un decimal, calcula la raíz cuadrada de 83.